Упражнение 1. Являются ли метрическими пространствами:
a) R с метрикой ρ(x,y) = sin2(x-y)
b) R с метрикой ρ(x,y) = arctg|x-y|
c) Окружнось с метрикой: кратчайшая длина дуги между точками
d) Произвольное множество с метрикoй ρ(x,x)=0; ρ(x,y)=1 при x≠y,
е) Множество всех ограниченных на множестве М функций с метрикoй
ρ(f,g)= sup { f(x)-g(x) | x - любое из M}
Упражнение 2.а) ρ - метрика на M ⇒
ξ(x,y) = min(1, ρ(x,y)) - также метрика на M
b) На R∞ введена норма : ||x|| = x/(1+|x|);
||+∞||= +1; ||-∞||=-1 Постройте метрику, соответствующую этой норме.
c) Постройте метрику с диаметром d, которой принадлежит ε-окрестность точки,
причем 2*ε > d.
Задача 3. ρ - метрика на М, ξ - метрика на К ⇒
a) φ=ρ+ξ
b) φ = max { ρ ξ }
c) φ = √(ρ2+ξ2)
- метрики на M⊗K
Упражнение 4. Придумайте 2-3 интересных примера топологий
В этом разделе все будет происходить во множестве Х с топологией Ξ
Задача 5 а) Пересечение любого семейства замкнутых множеств замкнуто
б) Объединение конечного семейства замкнутых множеств замкнуто
с) Х и пустое множество замкнуты.
d) δА - замкнута
а) Окрестность (просто) точки -def- любое открытое множество содержащие
эту точку.
б) х - точка прикосновения для А, если любая окрестность х пересекается
с А
с) Замыкание А (обозначается [A]) -def- объединение всех точек
прикосновения А
d) Внутреность А (обозначается Int A ) =def= Х\[X\A]
e) Граница А (обозначается δА ) =def= [A]\A
Задача 6 а) А - замкнуто ⇔ [A] = A
b) открытое А пересекается с В ⇔ А пересек. с [B]
c) A ⊂ [A] d) A ⊂ B ⇒ [A] ⊂ [B]
e) [A ∪ B] = [A] ∪ [B]
f) [[A]]=[A] g) [A] ⊂ A ⇒ A - замкнуто
а) х - внутреняя для А -def- x ∈ Int A
b) x - граничная для А -def- x ∈ δА
с) х - предельная для А -def- в любой окрестности х существуют
точки А, отличные от х ( в чем отличие от точки прикосновения?)
Задача 7. а) Int A - открыто
b) Множество предельных точек A - замкнуто
c) Множество предельных точек A, объединенное с А, - замкнуто
d) δА - замкнута.
Пусть (М,ρ) - метрическое пространство. Топологией, порожденной метрикой ρ, называется семейство всех множеств U= {для ∀х∈U: ρ(x,U)>0}
Задача 8. a) Докажите, что порожденая топология - действительно топология
b) Постройте порожденые топологии на R и С с естественными метриками
Задача 9а) Для любых ∀х,y ∈ М x≠y ∃ их непересекающиеся
окрестности
б) Приведите пример топологии, в которой а) не выполняется
Задача 10. A - открыто ⇔ вместе с любой точкой х А содержит и
некоторую ε-окрестнось точки х.
b) А - замкнуто ⇔ {всех точек прикосновения А} ⊂ A
Задача 11. ПРИНЦИП Больцанно-Веейрштрасса
Любое ограниченное бесконечное множество имеет хотя бы одну
предельную точку.
Задача 12. Опишите а) все замкнуто-открытые множества
б) все открытые(замкнутые) множества в R
с) все открытые(замкнутые) множества в Q
Определение
Последовательнсть {xn} сходится в М к а
(обозначается xn→а
при n→∞) ⇐def⇒ для ∀ε>0 ∃k: для
∀n>k:
ρ(a,xn)<ε.
Иначе xn→а
при n→∞ -def- в любом шаре с центром в а лежат все x, начиная с
некоторого.
Задача 13. Если предел последовательности существует ⇒
а) он единственен б) последовательность ограничена
Задача 14. xn→а; yn→b
при n→∞ ⇒
a) лемма о непрерывности расстояния: ρ(xn, yn)
→ ρ(a,b) при n→∞
b) лемма о мажорировании:
если для ∀n xn < yn ⇒ a≤b
c) сумма (xn + yn) → а+b при n→∞
Задача 15. а) Последовательность сходится в R с естественной метрикой
⇔ она сходится в метрике из 1b,OR 2a OR 2b
b) Тот же вопрос для R⊗R и метрик из задачи 3
Такие метрики называются эквивалентными
Задача 16* Докажите, что ρ(x,y)= | ||x|| - ||y|| | на R∞ эквивалентна естественной на R (норма в смысле 2b)
Определение: а - предельная точка последовательности {xn}, если для
∀ε>0, ∀k∈N ∃ n>k:
ρ(xn,a)<ε
(Чем отличается предельная точка последовательности от предела
последовательности и от предельной точки мнoжества?)
Задача 17. Последовательность имеет предел ⇒ она имеет ровно одну
предельную точку. Верно ли обратное?
b) Последовательность имеет предельную точку ⇒ можно выбрать
подпоследовательность, сходящуся к а.
Задача 18.а) Сформулируйте и докажите Б-В для последовательностей в R
b) Справедлив ли он для последовательностей в Q?
1 a b c d e 2 a b c 3 a b c 4 5 a b c 6 a b c d e f g 7 a b c d
8 a b 9 a b 10 a b 11 12 a b c 13 a b 14 a b c 15 ab 16 17ab18ab